前言

就从数组开始，以后会一直更新算法。数组有下图这些知识点与技巧。本文主要讲解其中的前缀和知识点。

思路

适合的场景：原始数组不会被修改，且频繁查询某个区间的累加和。 创建一个prefixSum数组，长度比原数组nums长度多1。prefixSum[i]存储nums[0]到nums[i]的和。 尤其要注意prefixSum与nums的坐标换算，如下图所示。

区域和检索 - 数组不可变（一维前缀和）

leetcode第303题

解题思路
常规思路是通过遍历i到j。但这样时间复杂度就是O(n)。 采用前缀和。sumRange = prefixSum[right + 1] - prefixSum[left]。注意原数组与前缀和数组的下标换算，例如nums[i]的前缀和是preSum[i + 1]。如下图所示。

复杂度分析
时间复杂度：初始化O(n)，每次检索O(1)，n是数组长度。 空间复杂度：O(n)。 代码

class NumArray {
    private int[] prefixSum;
    public NumArray(int[] nums) {
        prefixSum = new int[nums.length + 1];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            prefixSum[i + 1] = prefixSum[i] + nums[i];
        }
    }
    public int sumRange(int left, int right) {
        return prefixSum[right + 1] - prefixSum[left];
    }
}

二维区域和检索 - 矩阵不可变（二维前缀和）

leetcode第304题

解题思路
题中要求值设为下图中的红框部分，则有下图红框部分和 = 下图蓝框部分的和 - 下图绿框部分的和 - 下图黄框部分的和 + 下图灰框部分的和。

image.png

定义原二维数组的前缀和数组为preSum。则preSum[i][j]表示原数组中(0, 0)坐标与(i - 1, j - 1)坐标组成的矩形区域的和，如下图所示，紫色框对应的前缀和为17。 这里需要注意原数组与前缀和数组的坐标换算。比如原数组坐标为(i - 1, j - 1)，则在前缀和数组中的坐标为(i, j)。 而上面一开始提到的蓝框的和，绿框的和，黄框的和，灰框的和的求法都一样。也就是对应位置二维数组的前缀和。

所以上图中紫色部分前缀和又如何求呢？答案：上图紫色部分前缀和 = 下图黄色部分前缀和 + 下图红色部分前缀和 - 重叠部分前缀和 + 原数组(i - 1, j - 1)位置的值 ，即preSum[i][j] = preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1] = 9 + 14 - 8 + 2 = 17。

所以只要求出原数组中每个位置的前缀和，就解决了本题。 复杂度分析
时间复杂度：初始化O(rc)，每次检索O(1)，其中r与c分别为matrix的行数和列数。 空间复杂度：O(rc)。
代码

class NumMatrix {
    private int[][] preSum;

    public NumMatrix(int[][] matrix) {
        int r = matrix.length;
        if (r == 0) {
            return;
        }
        int c = matrix[0].length;
        if (c == 0) {
            return;
        }
        preSum = new int[r + 1][c + 1];
        for (int i = 1; i <= r; i++) {
            for (int j = 1; j <= c; j++) {
                preSum[i][j] = preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
            }
        }
    }

    public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return preSum[row2 + 1][col2 + 1] - preSum[row1][col2 + 1] - preSum[row2 + 1][col1] + preSum[row1][col1];
    }
}

和为 K 的子数组

leetcode第560题

解题思路
思路
常规思路是通过双重循环遍历前缀和数组，j < i，若当preSum[j] + k == preSum[i]时，说明数组从j - 1到i的和为k，则count++。但这样时间复杂度就是O(n^2)。 采用HashMap + 前缀和数组方式，时间复杂度可达到O(n)。 由preSum[j] + k == preSum[i]移项得preSum[j] == preSum[i] - k。所以只要统计有多少个前缀和为preSum[i] - k即可以统计出有多少个子串的和为k。 建立map，其中key=preSum[i]，value=满足preSum[i] - k的preSum[j]有多少个（有多少个满足，就代表有多少个子串的和为k），其中必须j < i。
示例
示例nums = [1,2,3]，k = 3。流程如下。 1.由于不会事先构建前缀和数组，所以此处先添加前缀和的第0个元素。如下图所示。

2.从nums的第0项（对应前缀和数组的第1项），开始遍历。此时preSum - k = -2。map中不存在key = -2的键值对。所以此时count = 0。并将key = preSum = 1， value = 1加入map。如下图所示。

3.访问nums数组的第1项（对应前缀和数组的第2项）。此时preSum - k = 0。map中存在key =0的键值对，且value = 1。所以此时count = count + value = 1。并将key = preSum = 3， value = 1加入map。如下图所示。

4.访问nums数组的第2项（对应前缀和数组的第3项）。此时preSum - k = 3。map中存在key = 3的键值对，且value = 1。所以此时count = count + value = 2。并将key = preSum = 6， value = 1加入map。如下图所示。

复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中n为数组的长度 空间复杂度：O(n)，哈希表在最坏情况下可能有n个不同的键值，因此为O(n)。 代码

class Solution {
   public int subarraySum3(int[] nums, int k) {
      HashMap map = new HashMap<>();
      //初始情况，由于此处没有使用前缀和数组，因此需要先将前缀和为0的，出现了1次的的情况记录在map里面，也就是前缀数组中的第0项
      map.put(0, 1);
      int count = 0, sum0i = 0;
      for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
         sum0i += nums[i];
         count += map.getOrDefault(sum0i - k, 0);
         //以下两句代码，必须在以上两句代码的后边，这样变相保证了j < i
         int c = map.getOrDefault(sum0i, 0);
         map.put(sum0i, ++c);
      }
      return count;
   }
}

结尾

好了数组中的前缀和技巧就讲这三道。下一篇算法文章讲差分数组。

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